La version numrique du sujet fournie en fichier texte (format *.txt) doit tre ouverte en tant que braille informatique. Elle sera affiche en braille 6 points. Lapplication  bloc-notes  des ordinateurs courants, ou des logiciels spcialiss, peut tre utilise.  dfaut, reportez-vous  la version en papier. 
Le candidat doit rdiger ses rponses sur un second fichier, et peut demander  un assistant ou  un secrtaire de recopier sa production de faon manuscrite sur une copie.
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La page du document original est indique par  PO 1  pour  page originale n1 . Les rfrences aux pages braille (sommaire, rfrences en cours de sujet) font rfrence au sujet braille emboss.

po `1
`25-matj`2me1
braille intgral 
baccalaurat gnral
preuve d'enseignement de spcialit
session `2025
mathmatiques
mercredi
`18 juin `2025
dure de l'preuve: `4 heures l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autoris.
l'usage de la calculatrice sans mmoire "type collge" est autoris.
ds que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
dans la version originale, le sujet comporte `7 pages numrotes de `1  `7.
dans la version en braille intgral, le sujet comporte `28 pages de texte numrotes de `1  `28 `! `2 planches tactiles sur papier thermogonfl en fin de volume.
le signe numrique est omis dans les planches tactiles.
le candidat doit traiter les quatre exercices proposs. le candidat est invit  faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m2me incomplte ou non fructueuse, qu'il aura dveloppe.
la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte dans l'apprciation de la copie. les traces de recherche, m2me incompltes ou infructueuses, seront valorises.
sommaire
exercice `1 `5
partie a `6
partie b `10 
exercice `2 `13
partie a `14
partie b `16
exercice `3 `17
exercice `4 `20
partie a `21
partie b `23
partie c `27

po `2 
exercice `1 (`5 points)
les deux parties peuvent 2tre traites indpendamment.
dans cet exercice, on s'intresse  des personnes venues sjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.
les rsultats des probabilits demandes seront arrondis au millime si ncessaire.
partie a
le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller compose de deux sances de cours. on choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit  cette formule.
on dsigne par `a et `b les vnements suivants:
9o `a: "la personne chute pendant la premire sance";
9o `b: "la personne chute pendant la deuxime sance".
pour un vnement `e quelconque, on note `p(e) sa probabilit et `:e son vnement contraire.
des observations permettent d'admettre que `p(a)`"0,6.
de plus on constate que:
9o si la personne chute pendant la premire sance, la probabilit qu'elle chute pendant la deuxime est de `0,3;
9o si la personne ne chute pas pendant la premire sance, la probabilit qu'elle chute pendant la deuxime est de `0,4.
`1. reprsenter la situation par un arbre pondr.
`;une feuille plastique vierge est  disposition du candidat en fin de volume pour cet exercice.'
`2. calculer la probabilit `p(:a!:b) et interprter le rsultat.
`3. montrer que `p(b)`"0,34.
`4. la personne ne chute pas pendant la deuxime sance de cours. calculer la probabilit qu'elle n'ait pas chut lors de la premire sance.
`5. on appelle `x la variable alatoire qui,  chaque chantillon de `100 personnes ayant souscrit  la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chut ni lors de la premire ni lors de la deuxime sance. on assimile le choix d'un chantillon de `100 personnes  un tirage avec remise.
on admet que la probabilit qu'une personne ne chute ni lors de la premire ni lors de la deuxime sance est de `0,24.
a. montrer que la variable alatoire `x suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.
b. quelle est la probabilit d'avoir, dans un chantillon de `100 personnes ayant souscrit  la formule, au moins `20 personnes qui ne chutent ni lors de la premire ni lors de la deuxime sance?
c. calculer l'esprance `e(x) et interprter le rsultat dans le contexte de l'exercice.

po `3
partie b
on choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. on note `t?1 la variable alatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accs aux activits sportives pendant la journe du samedi, et `t?2 la variable alatoire donnant donnant son temps d'attente total en minute avant les accs aux activits sportives pendant la journe du dimanche.
on admet que:
9o `t?1 suit une loi de probabilit d'esprance `e(t?1)"40 et d'cart-type `s(t?1)"10;
9o `t?2 suit une loi de probabilit d'esprance `e(t?2)"60 et d'cart-type `s(t?2)"16;
9o les variables alatoires `t?1 et `t?2 sont indpendantes.
on note `t la variable alatoire donnant le temps total d'attente avant les accs aux activits sportives lors des deux jours, exprim en minute. ainsi on a `t"t?1!t?2.
`1. dterminer l'esprance `e(t) de la variable alatoire `t. interprter le rsultat dans le contexte de l'exercice.
`2. montrer que la variance `v(t) de la variable alatoire `t est gale  `356.
`3.  l'aide de l'ingalit de bienaym-tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilit que son temps total d'attente `t soit strictement compris entre `60 et `140 minutes est suprieure  `0,77.
exercice `2 (`5 points)
l'espace est muni d'un repre orthonorm `(o;:i,:j,:k).
on considre:
9o les points `a(-1;2;1), `b(1;-1;2) et `c(1;1;1);
9o la droite `d dont une reprsentation paramtrique est donne par:
`d: (`'x"3/2;!2t
`y"2!t
`z"3-t
avec `t1r;
9o la droite `d' dont une reprsentation paramtrique est donne par:
`d': (`x"s
`y"3/2;!s
`z"3-2s
avec `s1r.
partie a
`1. montrer que les droites `d et `d' sont scantes au point `s(-1/2;1;4).
`2. a. montrer que le vecteur `:n(`1
`2
`4)
est un vecteur normal au plan `(abc).
b. en dduire qu'une quation cartsienne du plan `(abc) est: `x!2y!4z-7"0
c. dmontrer que les points `a, `b, `c et `s ne sont pas coplanaires.

po `4
`3. a. dmontrer que le point `h(-1;0;2) est le projet orthogonal de `s sur le plan `(abc).
b. en dduire qu'il n'existe aucun point `m du plan `(abc) tel que `'sm2;@21;/2.
partie b
on considre un point `m appartenant au segment `cs. on a donc `:cm"k:cs avec `k rel de l'intervalle `0;1.
`1. dterminer les coordonnes du point `m en fonction de `k.
`2. existe-t-il un point `m sur le segment `cs tel que le triangle `mab soit rectangle en `m?
exercice `3 (`4 points)
pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. justifier chaque rponse. une rponse non justifie ne rapporte aucun point.
`1. la suite `(u?n) est dfinie pour tout entier naturel `n par: `'u?n"1!5^n;/2!3^n;.
affirmation `1: la suite `(u?n) converge vers `5/3.
`2. on considre la suite `(w?n) dfinie par: `w?0"0 et, pour tout entier naturel `n, `'w?n!1;"3w?n-2n!3.
affirmation `2: pour tout entier naturel `n, `w?n@n.
`3. on considre la fonction `f dfinie sur `)b`0;`!c( dont la courbe reprsentative `c?f est donne dans un repre orthonorm sur la figure (fig. `1) en `;planche tactile no `1'. on prcise que:
9o `t est la tangente  `c?f au point `a d'abscisse `8;
9o l'axe des abscisses est la tangente horizontale  `c?f au point d'abscisse `1.
po `5
fig.`1
`;voir planche tactile no `1'
affirmation `3: d'aprs le graphique, la fonction `f est convexe sur son ensemble de dfinition.
4. affirmation `4: pour tout rel `x@0, `ln(x)-x!120, o `ln dsigne la fonction logarithme nprien.
exercice `4 (`6 points)
l'objet de cet exercice est l'tude de l'arr2t d'un chariot sur un mange,  partir du moment o il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.
on note `t le temps coul, exprim en seconde,  partir du moment o le chariot arrive sur la zone de freinage.
on modlise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprime en mtre, en fonction de `t,  l'aide d'une fonction note `d dfinie sur `(`0;`!c(.
on a ainsi `d(0)"0.
par ailleurs, on admet que cette fonction `d est drivable sur son ensemble de dfinition. on note `d' sa fonction drive.
partie a
sur la figure (fig. `2) ci-dessous, on a trac dans un repre orthonorm:
9o la courbe reprsentative `c?d de la fonction `d;
9o la tangente `t  la courbe `c?d au point `a d'abscisse `4,7;
9o l'asymptote `d  `c?d en `!c.
po `6
fig. `2
`;voir planche tactile no `2' 
dans cette partie, aucune justification n'est attendue.
avec la prcision que permet le graphique, rpondre aux questions page braille suivante.
d'aprs ce modle:
`1. au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru `15 m dans la zone de freinage?
`2. quelle longueur minimale doit-2tre prvue pour la zone de freinage?
`3. que vaut `d'(4,7)? interprter ce rsultat dans le contexte de l'exercice.
partie b
on rappelle que `t dsigne le temps coul, en seconde,  partir du moment o le chariot arrive sur la zone de freinage.
on modlise la vitesse instantane du chariot, en mtre par seconde (`m*s^-1), en fonction de `t, par une fonction `v dfinie sur `(`0;`!c(.
on admet que:
9o la fonction `v est drivable sur son ensemble de dfinition, et on note `v' sa fonction drive;
9o la fonction `v est une solution de l'quation diffrentielle `(e): `'y'!0,6y"e^-0,6t;,
o `y est une fonction inconnue et o `y' est la fonction drive de `y.
po `7
on prcise de plus que, lors de son arrive sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est gale  `12 `m*s^-1, c'est--dire `v(0)"12.
`1.
a. on considre l'quation diffrentielle `(e'): `y'!0,6y"0.
dterminer les solutions de l'quation diffrentielle `(e') sur `0;!c.
b. soit `g la fonction dfinie sur `(`0;`!c( par `'g(t)"te^-0,6t;.
vrifier que la fonction `g est une solution de l'quation diffrentielle `(e).
c. en dduire les solutions de l'quation diffrentielle `(e) sur `(`0;`!c(.
d. en dduire que pour tout rel `t appartenant  l'intervalle `(`0;`!c(, on a: `'v(t)"(12!t)e^-0,6t;. 
`2. dans cette question, on tudie la fonction `v sur `(`0;`!c(.
a. montrer que pour tout rel `t10;!c, `'v'(t)"(-6,2-0,6t)e^-0,6t;.
b. en admettant que: `'v(t) "12e^-0,6t;!1/0,6;*0,6t/e^ 0,6t;;, dterminer la limite de `v en `!c.
c. tudier le sens de variation de la fonction `v et dresser son tableau de variation complet. justifier.
d. montrer que l'quation `v(t)"1 admet une solution unique `a, dont on donnera une valeur approche au dixime.
`3. lorsque la vitesse du chariot est infrieure ou gale  `1 mtre par seconde, un systme mcanique se dclenche permettant son arr2t complet. dterminer au bout de combien de temps ce systme entre en action. justifier.
partie c
on rappelle que pour tout rel `t appartenant  l'intervalle `(`0;`!c(: `'v(t)"(12!t)e^-0,6t;.
on admet que pour tout rel `t dans l'intervalle `(`0;`!c(: `d(t)"?0^tv(x)dx
`1.  l'aide d'une intgration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants `0 et `t est donne par:
`'d(t)"e^-0,6t;(-5/3t-205/9)! 205/9.
`2. on rappelle que le dispositif d'arr2t se dclenche lorsque la vitesse du chariot est infrieure ou gale  `1 mtre par seconde. dterminer, selon ce modle, une valeur approche au centime de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le dclenchement de ce dispositif.

